Primzahlen und ihr einsames Geheimnis

Definition

Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben, nennt man Primzahlen. Sie sind nur durch 1 und sich selbst teilbar. Ihre Teilermenge enthält nur zwei Elemente. 1 ist keine Primzahl.

Für Don Zagier vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn "gehören die Primzahlen trotz ihrer einfachen Definition zu den willkürlichsten, widerspenstigsten Objekten, die der Mathematiker studiert. Sie wachsen wie Unkraut unter den natürlichen Zahlen, scheinen keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen". Zugleich zeigten sie aber "die ungeheuerlichste Regelmäßigkeit auf und sind durchaus Gesetzen unterworfen, denen sie mit fast peinlicher Genauigkeit gehorchen".

 

Wie findet man ganz große Primzahlen?

Das ist bis heute ein Problem. Seit nun mehr als 2000 Jahren suchen Mathematiker nach einer Formel, die aus einer gegebenen Primzahl die nächste berechnet. Eine Formel, die alle Primzahlen generiert kann. Bis heute wurde eine solche Formel nicht gefunden.

 

Ein König, der 100 Gefängniszellen besaß

Kennt Ihr die Geschichte von einem Herrscher, der ein Gefängnis mit genau 100 Zellen besaß? Der König hatte die sonderliche Gewohnheit, die Gefangenen nach folgender Methode freizulassen:

Die Wärter gingen von Tür zu Tür und machten Kreuze. Der erste machte an jeder Tür ein Kreuz, der zweite an jeder zweiten, beginnend bei der zweiten Tür, der dritte an jeder dritten Tür usw. Anschließend ließ er alle Gefangenen frei, an deren Tür genau zwei Kreuze waren. Nun aber durften sich die verbleibenden Gefangenen eine neue Zelle aussuchen. Welche Zellennummern würdest du den Gefangenen empfehlen?

 

Eratosthenes

Der griechische Mathematiker Eratosthenes fand vor über 2200 Jahren ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen. Man nennt es "das Sieb des Eratosthenes"..

Schreibe alle Zahlen von 1 bis 100 sorgfältig in 10er Reihen untereinander auf. Nimm Dir nun einen andersfarbigen Stift und streiche  die 1 durch, weil sie keine Primzahl ist. Kreise die erste Primzahl 2 ein. Streiche nun alle Vielfachen von 2 durch. Kreise die nächste Primzahl 3 ein. Streiche nun alle Vielfachen von 3 durch.  Führe dasselbe Verfahren durch mit 5 und 7. Nehme immer die nächst höhere Zahl, die noch nicht durchgestrichen wurde. Dies sind alles Primzahlen.

Welche Primzahlen erhältst du?

 

Die Primzahlen im Zahlenraum bis 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Dieser Zahlenraum enthält 25 Primzahlen.

 

Primzahlzwillinge

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13). Es gibt sie deutlich seltener als Primzahlen. Unter den ersten hundert Zahlen sind nur acht Pärchen gegenüber 25 Primzahlen. Unterhalb einer Milliarde gibt es mehr als 50 Millionen Primzahlen, aber nur knapp dreieinhalb Millionen Zwillingspaare.

Welche Paare findest Du bis 100?

 

Primfaktorzerlegung  (Übungen)

9 = 3 x 3

35 = 3 x 7

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3

58 = 2 x 29

18 = 2 x 3 x 3

42 = 2 x 3 x 7

50 = 2 x 5 x 5

62 = 2 x 31

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

44 = 2 x 2 x 11

52 = 2 x 2 x13

64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

16 = 2 x 2 x 2 x 2

245 = 5 x 7 x 7

113 = 113

84 = 2 x 2 x 3 x 7

41 = 41

102 = 2 x 3 x 17

114 = 2 x 3 x 19

 

Summe dreier Primzahlen

Im Jahr 1742 schrieb der deutsche Gelehrte Christian Goldbach (1690-1746) an seinen Freund, den berühmten Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), er vermute, jede ganze Zahl größer als 5 lasse sich als Summe von drei Primzahlen schreiben. Prüfe, ob das stimmt:

10 = 2 + 3 + 5

15 = 3 + 5 + 7

20 = 2 + 7 + 11

...

Kommentar
12.03.2019 | Gerhard Löffler | Primzahlenforscher
Es gibt eine Formel für Primahlen: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1 http://primzahlencode.homepage.t-online.de/
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