Platonische Körper (allgemein)

Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Körper von größtmöglicher Symmetrie. Sie werden von lauter zueinander kongruentenregelmäßigen Vielecken begrenzt.

 

Es zeigt sich, dass es genau fünf Platonische Körper gibt. Ihre Namen geben auf Griechisch die Anzahl ihrer Flächen wieder:

  • etraeder (grch. tetra, vier Dreiecke)
  • Hexaeder (grch. hexa, sechs Quadrate, bekannt als Würfel)
  • Oktaeder (grch. okta, acht Dreiecke)
  • Dodekaeder (grch. dodeka, zwölf Fünfecke) -  auch Pentagondodekaeder genannt, da nur er nicht aus Drei- oder Vierecken besteht.
  • Ikosaeder (grch. eikosi, zwanzig Dreiecke)

 

In jeder Ecke des Körpers treffen jeweils gleich viele gleich lange Kanten zusammen, an jeder Kante treffen sich zwei kongruente Flächen, und jede Fläche hat gleich viele Ecken.

 

Grundlegende Eigenschaften

Platonische Körper haben folgende Eigenschaften:

  • Die Oberfläche setzt sich aus Flächen zusammen, sie sind also Polyeder.
  • Sie sind konvex: Es bestehen keine einspringenden Ecken oder Kanten.
  • Die Kanten haben alle die gleiche Länge.
  • Die Flächen sind untereinander alle kongruent, das heißt, sie lassen sich durch Drehungen und Verschiebungen ineinander überführen.
  • Alle Ecken haben gleiche Flächen- und Kantenwinkel, alle Flächen sind gleichseitig und gleichwinklig.
  • Alle Ecken haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.
  • Aufgrund der Symmetrie von Ecken, Kanten und Flächen existiert eine Umkugel, eine Kantenkugel und eine Inkugel.
  • Sie sind entweder Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder oder Ikosaeder.

 

Berührende Kugeln

Aus der hohen Symmetrie folgt unmittelbar: Jeder platonische Körper hat

  • eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und
  • eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen, sowie
  • eine Kantenkugel, auf der die Mittelpunkte der Kanten liegen.

Der gemeinsame Mittelpunkt dieser drei Kugeln ist der Mittelpunkt (das Zentrum) des platonischen Körpers.

 

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